LÓGICA PROPOSICIONAL

CLICK AQUÍ PARA DESCARGAR

Es una parte de la lógica formal que utiliza exclusivamente proposiciones ( afirmaciones acerca de la realidad que pueden ser verdaderas o falsas ). Su función es establecer el valor de verdad de las proposiciones en función de las relaciones lógicas que se establecen entre ellas.

1)      ELEMENTOS DE LA LÓGICA PROPOSICIONAL

a)      Hay dos tipos de proposiciones:

-Atómicas: Las que tienen un único significado , solo nos remiten a una idea → hoy  hace calor.

-Moleculares: Tienen al menos dos significados → Hoy hace calor y me voy a la playa.

               Las proposiciones se simbolizan a partir de la letra p. La primera proposición en aparecer siempre será p, la siguiente q, y así sucesivamente siguiendo el alfabeto.

b)      Utilizaremos varios juntores. Un juntor es un símbolo que une varias proposiciones:

­­­¬ =No

→ = Si…, entonces…

↔ = Si y solo si…, entonces…

V = O

Λ = Y

V = O,…o…

|--= Luego...

Estos juntores unen proposiciones atómicas ( salvo la negación ), transformándolas en proposiciones moleculares. Por ejemplo:

Si tengo hambre, entonces me voy al restaurante.  p → q

Estudio economía y matemáticas.  p Λ q

          2)  REGLAS DEL LENGUAJE PROPOSICIONAL

                    - Todos los juntores excepto la negación sólo pueden unir dos proposiciones atómicas o moleculares. En el caso de unir moleculares se utilizarán paréntesis y corchetes:

                                                 p ↔ q             p → ( q Λ r )    

                                                 p  -­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­­¬   q              p → ( q  r )      

                     -  La negación solo sirve para calificar proposiciones atómicas o moleculares, nunca para unirlas.

                                                 ¬  p            ¬  ( p↔ r )      p    ¬ ( q ¬  r )  

        3) VALORES DE VERDAD

     Toda proposición puede tener dos valores de verdad, o dicho de otra manera, en el sistema lógico que vamos a estudiar, toda oración tiene dos valores de verdad; o es verdadera o es falsa. Para expresar la verdad o falsedad de una oración vamos a utilizar la siguiente convención:

‘1’ significará que la  proposición es verdadera y ‘0’ que la proposición es falsa

          De modo que una proposición ‘p’ podrá tener sólo dos valores de verdad, y eso lo expresamos de la siguiente manera:

p

1 0

 Si en lugar de una proposición tomamos dos ‘p’ y ‘q’ y combinamos sus valores de verdad posibles obtendremos la siguiente tabla:

p q

1   1 1   0 0   1 0   0

p  q   r

1     1    1 0     0    1 0     1    0 1     0    0 0     1    1 1     0    1 1     1    0 0     0    0

  Si tuviésemos tres proposiciones p, q, y r:

 4 )VALORES DE VERDAD DE LOS JUNTORES

a) El Negador (¬)

 Dado una proposición p, podemos formar su negación superponiendo en el parte superior izquierda de la variable el signo de la negación: ¬p que se leerá ‘no p’. Su tabla de verdad es:

p	¬p
1	0
0	1

 b) El conjuntor (Λ)

La unión de dos letras enunciativas mediante le símbolo de la conjunción permite construir enunciados moleculares (enunciados cuyos componentes son enunciados). Si tenemos dos proposiciones ‘p’ y ‘q’ podemos formar la proposición ‘p ^ q’. Para construir la tabla de verdad de una conjunción hay que tener en cuenta que la conjunción es verdadera sólo cuando son verdaderas las variables que la componen.

p	q	p Λ  q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

 La forma lógica de un enunciado como ‘voy a casa y veré la película’ será:

                                                                       p Λ q

Donde ‘p’ es la letra enunciativa de la oración “voy a casa” y ‘q’ es la letra enunciativa que se corresponde con la oración “veré la película”.

 c) El disyuntor inclusivo(V)  .

El símbolo lógico de la disyunción inclusiva es « V » y se puede traducir, aunque de una forma parcial e incompleta, con la partícula del lenguaje natural «o». También se le denomina como el símbolo de la suma lógica.

Podemos entonces construir una disyunción a partir de dos variables enunciativas de la siguiente forma: p V q

Con respecto a su valor de verdad, una disyunción es verdadera cuando al menos una de las proposiciones (variables enunciativas) lo es, y también, por supuesto, cuando ambas lo son.

Veamos la tabla de verdad de la oración “hay dinero en el cajón o encima de la mesa”

p	q	pVq
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

 d) El disyuntor exclusivo (V).

El símbolo lógico de la disyunción es « V » y se puede traducir, aunque de una forma parcial e incompleta, con la expresión del lenguaje natural «o...,o...»

Este juntor es verdadero cuando solamente es verdadera una y solo una de las proposiciones que une.

Ejemplo: El pantalón  está o encima de la cama, o en el armario.

Su tabla de verdad sería la siguiente:                                                     

p	q	pVq
1	1	0
1	0	1
0	1	1
0	0	0

e) El implicador o condicional  (→).

El símbolo «→» es la formalización de la partícula del lenguaje ordinario «si…, entonces…» La expresión que se sitúa a la izquierda del símbolo lógico se le denomina antecedente y a la expresión que queda a la derecha consecuente. Una implicación será verdadera siempre que no se dé el caso de que el antecedente sea verdadero y el consecuente falso; y falsa cuando sea ese el caso. Dicho de otra forma: sólo hay un caso en el que una implicación será falsa, y es cuando siendo su antecedente verdadero, el consecuente es falso.

Ejemplo: Si estudias, entonces aprobarás.

 Veamos su tabla de verdad

p	q	p→q
1	1	1
1	0	0
0	1	1
0	0	1

 g) El coimplicador o bicondicional (↔) .

 El signo lógico que se corresponde con el bicondicional es «↔». Mediante este signo, que se correspondería con la expresión “si y sólo si”, lo que queremos decir es que el antecedente es una condición suficiente y necesaria para que se dé el consecuente. Pero si el antecedente es una condición necesaria y suficiente para que se dé el consecuente, entonces, si el consecuente se ha dado, también podemos inferir el consecuente.

Con respecto a su valor de verdad, un bicondicional es verdadero siempre que a) cuando son verdaderos tanto el antecedente como el consecuente; o b) cuando ambos son falsos.

p	q	p↔q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	1

Veamos la tabla de verdad de todos los signos lógicos

p  q	¬p		p Λ q	pVq	pVq	p→q	p↔q
1  1	0		1	1	0	1	1
1  0	0		0	1	1	0	0
0  1	1		0	1	1	1	0
0  0	1		0	0	0	1	1